72. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень: 1) z₁ = rac{3 - 2i}{2 - i};

Решение:

1. Шаг 1: Приведем данный корень к стандартному виду \( a + bi \). Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число к знаменателю:
   \( z_1 = \frac{3 - 2i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{(3 - 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} \).
2. Шаг 2: Выполним умножение в числителе и знаменателе:
   Числитель: \( (3 - 2i)(2 + i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot i - 2i \cdot 2 - 2i \cdot i = 6 + 3i - 4i - 2i^2 = 6 - i - 2(-1) = 6 - i + 2 = 8 - i \).
   Знаменатель: \( (2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5 \).
3. Шаг 3: Получаем корень в стандартном виде:
   \( z_1 = \frac{8 - i}{5} = \frac{8}{5} - \frac{1}{5}i \).
4. Шаг 4: Так как уравнение имеет действительные коэффициенты, то второй корень будет комплексно-сопряженным к \( z_1 \):
   \( z_2 = \frac{8}{5} + \frac{1}{5}i \).
5. Шаг 5: Составляем квадратное уравнение по формуле \( z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0 \).
   Сумма корней: \( z_1 + z_2 = (\frac{8}{5} - \frac{1}{5}i) + (\frac{8}{5} + \frac{1}{5}i) = \frac{8}{5} + \frac{8}{5} = \frac{16}{5} \).
   Произведение корней: \( z_1 z_2 = (\frac{8}{5} - \frac{1}{5}i)(\frac{8}{5} + \frac{1}{5}i) = (\frac{8}{5})^2 - (\frac{1}{5}i)^2 = \frac{64}{25} - \frac{1}{25}i^2 = \frac{64}{25} - \frac{1}{25}(-1) = \frac{64}{25} + \frac{1}{25} = \frac{65}{25} = \frac{13}{5} \).
6. Шаг 6: Подставляем сумму и произведение в формулу уравнения:
   \( z^2 - \frac{16}{5}z + \frac{13}{5} = 0 \).
   Умножим все члены на 5, чтобы избавиться от дробей:
   \( 5z^2 - 16z + 13 = 0 \).

Ответ: \( 5z^2 - 16z + 13 = 0 \)