68. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень, и проверить ответ, решив полученное уравнение: 1) z₁ = 2 + i;

Решение:

1. Шаг 1: Если квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексный корень \( z_1 = 2 + i \), то вторым корнем будет комплексно-сопряженное число \( z_2 = 2 - i \).
2. Шаг 2: Составляем приведенное квадратное уравнение по формуле \( z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1z_2 = 0 \).
   Сумма корней: \( z_1 + z_2 = (2 + i) + (2 - i) = 4 \).
   Произведение корней: \( z_1 z_2 = (2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5 \).
3. Шаг 3: Подставляем сумму и произведение в формулу уравнения:
   \( z^2 - 4z + 5 = 0 \).
4. Шаг 4: Проверяем, решив полученное уравнение.
   Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \).
   Корни: \( z = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \).

Ответ: \( z^2 - 4z + 5 = 0 \). Корни: \( z_1 = 2 + i, z_2 = 2 - i \).