538 Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 1 см. Найдите AB и AC, если периметр треугольника ABC равен 42 см.

Пусть AB = x, AC = y. По свойству биссектрисы \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}\), то есть \(\frac{x}{y} = \frac{1}{4.5}\), или \(\frac{x}{y} = \frac{2}{9}\). Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = 42. BC = BD + CD = 1 + 4.5 = 5.5. Значит, x + y + 5.5 = 42 или x + y = 42 - 5.5 = 36.5. Из соотношения \(\frac{x}{y} = \frac{2}{9}\) выразим x: \(x = \frac{2}{9}y\). Подставим это в уравнение x + y = 36.5: \(\frac{2}{9}y + y = 36.5\), \(\frac{11}{9}y = 36.5\), \(y = \frac{36.5 \times 9}{11} = \frac{328.5}{11} = 29.86\). Теперь найдём x: \(x = 36.5 - 29.86 = 6.64\). Таким образом, AB ≈ 6.64 см, AC ≈ 29.86 см.