539 В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, E и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и MK. Найдите отрезки NE и EK, если MN = 7 см, NK = 12 см, MK = 5 см.

Так как MDEF - ромб, то MD || EF и ME || DF. Из параллельности следует, что треугольники NDE и NMK подобны, а также треугольники EFK и MNK подобны. Так как MN=7, MK=5, NK=12. Так как MDEF - ромб, то MD=DE=EF=FM. Нам надо найти NE и EK. Так как MDEF - ромб, то MD || EF, ME || DF. Так как MDEF - вписанный ромб, то стороны ромба параллельны сторонам треугольника. Тогда треугольник NDE подобен треугольнику NMK, а треугольник FKE подобен треугольнику NMK. Из этого следует, что \(\frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}\) и \(\frac{EK}{NK} = \frac{EF}{MN}\) . Пусть x - сторона ромба. Тогда из подобия треугольников NDE и NMK имеем \(\frac{NE}{NK} = \frac{ND}{NM} = \frac{DE}{MK} = \frac{x}{5}\), т.е. \(\frac{NE}{12} = \frac{x}{5}\). Аналогично для треугольников EFK и NMK: \(\frac{EK}{NK} = \frac{FK}{MK} = \frac{EF}{MN} = \frac{x}{7}\), т.е. \(\frac{EK}{12} = \frac{x}{7}\). Так же \(\frac{ND}{NM} + \frac{MD}{NM}=1 \), т.е. \(\frac{ND}{7} + \frac{x}{7} = 1\). Аналогично \(\frac{KF}{MK} + \frac{FK}{MK}=1\), т.е. \(\frac{KF}{5} + \frac{x}{5}=1\). Сумма всех сторон треугольника будет равна MN + NK + MK = 7 + 12 + 5 = 24. Из подобия \(\frac{NE}{MK}= \frac{ND}{NM} = \frac{DE}{MK} = \frac{x}{5}\) и \(\frac{KE}{MN}= \frac{FK}{MK} = \frac{EF}{MN} = \frac{x}{7}\). Сумма длин отрезков NE и EK должна равняться NK=12. Однако, так как стороны ромба равны, решение данной задачи не может быть выражено простыми числами и требует дополнительного уточнения.