543 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Пусть даны подобные треугольники ABC и A1B1C1. Обозначим высоты, проведенные к сторонам BC и B1C1, как h и h1 соответственно. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AB}{A1B1} = \frac{BC}{B1C1} = \frac{AC}{A1C1} = k\), где k - коэффициент подобия. Площадь треугольника ABC можно выразить как \(S = \frac{1}{2} * BC * h\). Площадь треугольника A1B1C1 будет \(S1 = \frac{1}{2} * B1C1 * h1\). Известно, что \(\frac{BC}{B1C1} = k\) или BC = k * B1C1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S}{S1} = k^2\). То есть \(\frac{\frac{1}{2} * BC * h}{\frac{1}{2} * B1C1 * h1} = k^2\). Упростим: \(\frac{BC * h}{B1C1 * h1} = k^2\). Так как \(\frac{BC}{B1C1}=k\), то \(\frac{k * B1C1 * h}{B1C1 * h1} = k^2\). Сократим B1C1: \(\frac{k * h}{h1} = k^2\). Разделим обе стороны на k: \(\frac{h}{h1}= k\). Значит, \(\frac{h}{h1} = \frac{BC}{B1C1}\). Аналогично, можно показать для других высот. Следовательно, отношение сходственных сторон равно отношению соответствующих высот.