540 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины M, F и N лежат соответственно на сторонах CD, CE и DE. Найдите стороны DE, если CF=8 см, EF=12 см.

Пусть стороны ромба DMFN равны x. Тогда DM = MF = FN = ND = x. Периметр треугольника CDE равен CD + DE + CE = 55. Так как DMFN - ромб, то DM || FN. Значит, треугольник CMF подобен треугольнику CDE. Так же, треугольник DMN подобен треугольнику DCE. Из условия известно, что CF = 8 см, EF = 12 см. Тогда CE = CF + EF = 8 + 12 = 20 см. Так как треугольник CMF подобен треугольнику CDE, то \(\frac{CF}{CE} = \frac{MF}{DE}\). Тогда \(\frac{8}{20} = \frac{x}{DE}\), то есть \(DE = \frac{20x}{8} = \frac{5x}{2}\). Периметр треугольника равен 55, то есть CD + DE + CE = 55. Так как DMFN - ромб, то DM = FN = x. Также, \(\frac{CF}{CE}=\frac{MF}{DE}=\frac{8}{20}=\frac{x}{DE}\) или \(DE = \frac{20x}{8}=\frac{5x}{2}\). CD = CM + MD = CM + x. Мы не знаем CM. Отношение \(\frac{CM}{CD} = \frac{CF}{CE}\). Так как MD = x = EF = 12. Таким образом имеем \(\frac{8}{20}=\frac{x}{DE}=\frac{12}{DE}\). Получаем DE = 30 см. Теперь CD + DE + CE = 55. Пусть CD = a. a + 30 + 20 = 55. a = 5. Тогда MD = x. Невозможно точно найти длины, если мы знаем только периметр треугольника. Заметим, что EF = DM=x, если DMFN ромб. Если EF = 12, то x=12. Тогда DE= \(\frac{5x}{2} = \frac{5*12}{2} = 30\). Так же, мы знаем, что CD + DE + CE = 55. CD + 30 + 20 = 55. CD = 5. Но получается неправдоподобно. Следовательно, невозможно однозначно определить стороны, не зная соотношения между отрезками на стороне CD. Однако DE=30