571. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне AB. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади.

Пусть X — любая точка прямой m. Поскольку m параллельна AB, расстояние от X до прямой AB постоянно и равно расстоянию от C до AB. Поэтому все треугольники с основанием AB и третьей вершиной на m имеют одну и ту же высоту.

Площадь каждого такого треугольника равна половине произведения общей основы AB на эту постоянную высоту. Следовательно, площади всех этих треугольников равны. Если X совпадает с C, это исходный треугольник ABC.