6. Решите систему: {x²/y² + y²/x² = x/y + y/x; x² + y² = 2}

Решение: 1. Введем замену: a = x/y + y/x, тогда a² = x²/y² + 2 + y²/x² 2. Из первого уравнения: x²/y² + y²/x² = x/y + y/x, то есть a² - 2 = a или a²-a-2 = 0 3. Решим квадратное уравнение: a = (1 ± √(1+8))/2, a1=2, a2=-1 4. Если a=2, тогда x/y + y/x = 2, или x^2 + y^2=2xy, x^2 - 2xy + y^2 = 0, (x-y)^2=0, x=y 5. подставим во второе уравнение: x^2+x^2=2, 2x^2=2, x=1 или x=-1. Решения: (1,1) и (-1,-1). 6. Если a=-1, тогда x/y+y/x=-1, или x^2+y^2=-xy. Подставляем во второе x^2+y^2=2, тогда -xy=2 или xy=-2. x^2+y^2=-xy. x^2+2xy+y^2=xy, (x+y)^2=xy=-2 Этот вариант не имеет решения Ответ: (1, 1), (-1, -1)