65. Площадь прямоугольника равна \(16\sqrt3\) см², а угол между его диагоналями — 60°. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\), причём \(a\ge b\). Угол между диагоналями удовлетворяет соотношению \(\tan60°=2ab/(a^2-b^2)\), значит \(a^2-b^2=2ab/\sqrt3\).

Так как \(ab=16\sqrt3\), получаем \(a^2-b^2=32\). Кроме того, \((a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+4a^2b^2=1024+4(16\sqrt3)^2=4096\), поэтому \(a^2+b^2=64\).

Отсюда \(a^2=48\), \(b^2=16\), значит стороны равны \(4\sqrt3\) см и 4 см.

Ответ: 4 см и \(4\sqrt3\) см.