7. Найдите значение выражения (1 + b)² + (6-b)(6+b) при b = \(\frac{1}{2}\).

Решение:

Сначала упростим выражение, а затем подставим значение \( b \).

1. Раскроем первую часть, используя формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \( (1+b)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot b + b^2 = 1 + 2b + b^2 \).
2. Раскроем вторую часть, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( (6-b)(6+b) = 6^2 - b^2 = 36 - b^2 \).
3. Сложим полученные выражения: \( (1 + 2b + b^2) + (36 - b^2) \).
4. Приведем подобные слагаемые: \( 1 + 36 + 2b + b^2 - b^2 = 37 + 2b \).
5. Теперь подставим \( b = \frac{1}{2} \) в упрощенное выражение: \( 37 + 2 \cdot \frac{1}{2} \).
6. Вычислим: \( 37 + 1 = 38 \).

Ответ: 38