8. Найдите значение выражения (3 + b)² - (b-1)(b+1) при b = \(\frac{5}{8}\).

Решение:

Сначала упростим выражение, а затем подставим значение \( b \).

1. Раскроем первую часть, используя формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \( (3+b)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot b + b^2 = 9 + 6b + b^2 \).
2. Раскроем вторую часть, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( (b-1)(b+1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1 \).
3. Вычтем вторую часть из первой: \( (9 + 6b + b^2) - (b^2 - 1) \).
4. Раскроем скобки, меняя знаки: \( 9 + 6b + b^2 - b^2 + 1 \).
5. Приведем подобные слагаемые: \( 9 + 1 + 6b + b^2 - b^2 = 10 + 6b \).
6. Теперь подставим \( b = \frac{5}{8} \) в упрощенное выражение: \( 10 + 6 \cdot \frac{5}{8} \).
7. Вычислим: \( 10 + \frac{30}{8} = 10 + \frac{15}{4} = \frac{40}{4} + \frac{15}{4} = \frac{55}{4} \).

Ответ: \(\frac{55}{4}\)