74. Через точку пересечения медиан треугольника BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

Пусть плоскость пересекает рёбра DA, DB, DC в точках A′, B′, C′. Обозначим через G точку пересечения медиан треугольника BCD.

1. Поскольку A′B′C′ параллелен ABC, треугольники DA′B′ и DAB подобны, а коэффициент подобия равен DA′/DA.
2. На ребре DB точка B′ делит отрезок в том же отношении, что и A′ на DA: DB′/DB = DA′/DA. Аналогично DC′/DC = DA′/DA. Поэтому DA′/DA = DB′/DB = DC′/DC = k.
3. В тетраэдре гомотетия с центром D и коэффициентом k переводит BCD в B′C′D. Следовательно, центры тяжести этих треугольников соответствуют друг другу. Так как G лежит в плоскости сечения и является центром тяжести BCD, получаем k = 2/3: расстояние от D до плоскости сечения составляет 1/3 расстояния от D до грани ABC.

Значит, сечение A′B′C′ подобно ABC с коэффициентом 2/3.

Ответ: а) сечение — треугольник, подобный ABC; б) S_A′B′C′/S_ABC = (2/3)² = 4/9.