82. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте внутреннюю точку M грани AA₁B₁B. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку M параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BB₁C₁C; в) плоскости BDD₁.

Введём аффинные координаты A=(0,0,0), B=(1,0,0), D=(0,1,0), A₁=(0,0,1). Так как M — внутренняя точка грани AA₁B₁B, запишем M=(s,0,t), где 0<s<1 и 0<t<1.

а) Плоскость, параллельная ABCD и проходящая через M, пересекает боковые рёбра на одинаковой высоте t. Сечение — параллелограмм с вершинами (0,0,t), (1,0,t), (1,1,t), (0,1,t).

б) Плоскость, параллельная грани BB₁C₁C, имеет уравнение x=s. Сечение — параллелограмм с вершинами (s,0,0), (s,1,0), (s,1,1), (s,0,1).

в) Плоскость BDD₁ имеет уравнение x+y=1. Параллельная ей плоскость через M имеет уравнение x+y=s. Сечение — параллелограмм с вершинами A, (s,0,0), (s,0,1), A₁.

Ответ: сечения во всех трёх случаях — указанные параллелограммы.