78. На рисунке 42 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, на рёбрах которого отмечены точки M, N, M₁ и N₁ так, что AM = CN = A₁M₁ = C₁N₁. Докажите, что MBNDM₁B₁N₁D₁ — параллелепипед.

Пусть параллелепипед задан векторами u = AB, v = AD и w = AA₁. Так как AB = CD = A₁B₁ = C₁D₁, равенства длин из условия означают одинаковую долю t соответствующих рёбер: AM/AB = CN/CD = A₁M₁/A₁B₁ = C₁N₁/C₁D₁ = t.

Тогда MB = DN = M₁B₁ = D₁N₁ как равные и параллельные векторы длины (1 − t)|u|. Аналогично, BN = DM и B₁N₁ = D₁M₁: соответствующие векторы равны и параллельны, поскольку их составляющие вдоль рёбер равны tu и v. Наконец, MM₁ = BB₁ = NN₁ = DD₁ = w. Следовательно, боковые грани являются параллелограммами, а основания MBN D и M₁B₁N₁D₁ — равными параллелограммами.

Ответ: MBNDM₁B₁N₁D₁ — параллелепипед.