77. BK и BM — высоты ромба. Найдите углы треугольника KBM, если: а) высота BK в 2 раза меньше стороны AB; б) высота BM делит сторону CD пополам.

а) Пусть K — основание высоты BK на AD, а M — основание высоты BM на CD. В прямоугольном треугольнике ABK имеем BK = AB/2, поэтому угол между AB и BK равен 30° или 150° в зависимости от того, острый или тупой угол ромба расположен при A. Угол между высотами BK и BM равен углу между AD и CD, с учётом расположения лучей. Эти данные допускают два случая: треугольник KBM имеет углы 30°, 60°, 90° либо 150°, 30°, 0°; второй случай вырожден и не образует треугольника. Следовательно, для невырожденного случая углы треугольника KBM равны 30°, 60°, 90°.

б) Если основание высоты BM — середина CD, то B лежит на серединном перпендикуляре к CD, значит BC = BD. Поскольку BC = CD, треугольник BCD равносторонний. Его углы равны 60°, и угол между высотами BK и BM также равен 60°. Однако положение K и M и конкретные углы треугольника KBM зависят от того, где находятся основания высот; условие не задаёт достаточных данных для определения всех трёх углов.

Ответ: а) 30°, 60°, 90°; б) однозначно определяется только угол между высотами — 60°; для остальных углов нужны дополнительные данные о расположении оснований высот.