78. Докажите, что если у четырёхугольника все стороны равны, то это — ромб.

По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть у четырёхугольника ABCD все стороны равны: AB = BC = CD = DA. Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона. Поэтому соответствующие углы ABC и CDA равны. Эти углы — внутренние односторонние при прямых BC и AD, пересечённых AC; их сумма равна 180°, следовательно, каждый равен 90°. Значит, BC ∥ AD. Аналогично получаем AB ∥ CD. Таким образом, ABCD — параллелограмм, и все его стороны равны; следовательно, ABCD — ромб.