8.19 Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то такой четырехугольник — ромб.

Пусть в четырёхугольнике ABCD все стороны равны. Проведём диагональ AC. В треугольниках ABC и CDA: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона. Треугольники равны по трём сторонам.

Отсюда ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC. По признаку параллельности прямых AB ∥ CD и BC ∥ AD, значит, ABCD — параллелограмм. Поскольку все его стороны равны, это ромб.

Ответ: четырёхугольник ABCD — ромб.