8.20 Докажите, что если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм — ромб.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и AC ⟂ BD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BO = DO. Треугольники AOB и AOD прямоугольные, имеют общий катет AO и равные катеты BO и DO. Следовательно, они равны, откуда AB = AD.

В параллелограмме равенство двух смежных сторон означает, что все стороны равны. Значит, ABCD — ромб.

Ответ: параллелограмм ABCD — ромб.