8.29 Угол при вершине A ромба ABCD равен 60°. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки M и N, причём AM = BN. Докажите, что треугольник DMN равносторонний.

Обозначим сторону ромба через a, а AM = BN через x. Так как ∠A = 60°, векторы вдоль AB и AD образуют угол 60°, а BC ∥ AD. Удобно задать координаты: A(0, 0), B(a, 0), D(a/2, √3a/2), C(3a/2, √3a/2). Тогда M(x, 0), N(a + x/2, √3x/2).

Вычислим квадраты длин:

DM² = (a/2 − x)² + (√3a/2)² = a² − ax + x².

DN² = ((a + x)/2)² + (√3(a − x)/2)² = a² − ax + x².

MN² = (a − x/2)² + (√3x/2)² = a² − ax + x².

Значит, DM = DN = MN, следовательно, треугольник DMN равносторонний.

Ответ: треугольник DMN равносторонний.