8.27 Угол при вершине A ромба ABCD равен 20°. Точки M и N — основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на стороны AD и CD. Найдите углы треугольника BMN.

Поскольку AD ∥ BC и AB ∥ CD, угол между прямыми AD и AB равен 20°. Перпендикуляры BM и BN опущены соответственно к AD и CD, причём CD ∥ AB. Следовательно, угол между BM и BN также равен 20°: поворот обеих прямых на 90° сохраняет величину угла.

Расстояние от B до AD равно расстоянию между параллельными прямыми AD и BC; расстояние от B до CD равно расстоянию между CD и AB. Эти расстояния равны, поэтому BM = BN. Треугольник BMN равнобедренный, его углы при M и N равны и составляют \((180^\circ-20^\circ)/2=80^\circ\).

Ответ: ∠MBN = 20°, ∠BMN = ∠BNM = 80°.