8.21 Докажите, что если в параллелограмме одна из диагоналей делит угол параллелограмма пополам, то такой параллелограмм — ромб.

Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD делит угол A пополам: ∠BAC = ∠CAD. Так как AB ∥ CD, то ∠BAC = ∠ACD. Следовательно, ∠CAD = ∠ACD, и в треугольнике ACD равны противоположные этим углам стороны: AD = DC.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому из AD = DC следует, что все стороны равны. Значит, ABCD — ромб.

Ответ: параллелограмм ABCD — ромб.