8.23 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Где расположен её центр?

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в O. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому O равноудалена от всех четырёх сторон: расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла равны.

Проведём окружность с центром O и радиусом, равным расстоянию от O до любой стороны. Она касается каждой из четырёх сторон, то есть вписана в ромб.

Ответ: в любой ромб можно вписать окружность; её центр — точка пересечения диагоналей ромба.