8.22 Докажите, что если в четырехугольнике диагонали являются биссектрисами его углов, то такой четырехугольник — ромб.

Пусть диагональ AC является биссектрисой углов A и C. Тогда ∠BAC = ∠CAD и ∠BCA = ∠ACD. По равенству накрест лежащих углов AB ∥ CD и AD ∥ BC. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме диагональ, делящая угол пополам, даёт равенство смежных сторон (как в доказательстве задачи 8.21). Поэтому все стороны ABCD равны, и он является ромбом.

Ответ: четырёхугольник ABCD — ромб.