8.23 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Где расположен ее центр?

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому O равноудалена от сторон AB и AD. Противоположные стороны ромба параллельны, и расстояния между каждой парой параллельных сторон равны. Поскольку O лежит посередине между параллельными сторонами, расстояние от O до AB равно расстоянию от O до CD; аналогично расстояния до AD и BC равны.

Значит, окружность с центром O и радиусом, равным расстоянию от O до любой стороны, касается всех четырёх сторон. Она вписана в ромб.

Ответ: центр вписанной окружности — точка пересечения диагоналей ромба.