9. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 68°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Пусть точка пересечения касательных будет P. Угол APB = 68°.
• Треугольники OAP и OBP являются прямоугольными, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной (угол OAP = угол OBP = 90°).
• OP является биссектрисой угла APB, поэтому угол APO = угол BPO = 68° / 2 = 34°.
• В прямоугольном треугольнике OBP:
• Угол OBP = 90°.
• Угол BPO = 34°.
• Сумма углов в треугольнике OBP равна 180°. Угол BOP + угол OBP + угол BPO = 180°.
• Угол BOP + 90° + 34° = 180°.
• Угол BOP = 180° - 90° - 34° = 56°.
• В треугольнике OAB, OA = OB (радиусы). Следовательно, треугольник OAB равнобедренный.
• Угол AOB = 2 * Угол BOP = 2 * 56° = 112°.
• В равнобедренном треугольнике OAB: угол OAB + угол OBA + угол AOB = 180°.
• Так как угол OAB = угол OBA, то 2 * угол OBA + 112° = 180°.
• 2 * угол OBA = 180° - 112° = 68°.
• Угол OBA = 68° / 2 = 34°.

Ответ: 34°