8. Решите уравнение $$\sqrt{x + 12} = x$$

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[( \sqrt{x + 12} )^2 = x^2\]

\[x + 12 = x^2\]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - x - 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\).

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Теперь проверим оба корня в исходном уравнении \(\sqrt{x + 12} = x\).

Для \(x = 4\): \(\sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\). \(4 = 4\). Корень подходит.

Для \(x = -3\): \(\sqrt{-3 + 12} = \sqrt{9} = 3\). \(3 \neq -3\). Корень не подходит, так как в исходном уравнении \(x\) должно быть неотрицательным (правая часть уравнения).

Ответ: 4