8. Существуют ли такие натуральные a и b, что (a + b)(3a − b) = 10?

Для натуральных a и b множитель a + b положителен. Чтобы произведение было положительным, число 3a − b тоже должно быть положительным. Значит, оба множителя — положительные целые числа, произведение которых равно 10.

Возможные пары множителей: (1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1). Если обозначить их через p = a + b и q = 3a − b, то p + q = 4a должно делиться на 4. Суммы в перечисленных парах равны 11 или 7 и на 4 не делятся.

Ответ: таких натуральных чисел a и b не существует.