8. Упростите выражение \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) / \( \sqrt{6}+\sqrt{5} \).

Решение:

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.

1. Сопряжённое выражение к \( \sqrt{6}+\sqrt{5} \) — это \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \).
2. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \):
• \( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{5})} \)
3. Раскроем скобки в числителе по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
• \( (\sqrt{6}-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 6 - 2\sqrt{30} + 5 = 11 - 2\sqrt{30} \)
4. Раскроем скобки в знаменателе по формуле \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):
• \( (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1 \)
5. Таким образом, получаем:
• \( \frac{11 - 2\sqrt{30}}{1} = 11 - 2\sqrt{30} \)

Ответ: \( 11 - 2\sqrt{30} \).