44. a²+b³: a²-b²+2b ab ; a+b a+b a²-b²

Упростим выражение $$\frac{a^3+b^3}{a+b}:\left(a^2-b^2+\frac{2b}{a+b} - \frac{ab}{a^2-b^2}\right)$$.

Преобразуем первую дробь:

$$\frac{a^3+b^3}{a+b} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} = a^2-ab+b^2$$.

Преобразуем выражение в скобках:

$$a^2-b^2+\frac{2b}{a+b} - \frac{ab}{a^2-b^2} = \frac{(a^2-b^2)(a^2-b^2)}{a^2-b^2} + \frac{2b(a-b)}{a^2-b^2} - \frac{ab}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)(a+b)(a-b)(a+b) + 2b(a-b) - ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2-b^2)^2 + 2ab-2b^2 - ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2-b^2)^2 + ab - 2b^2}{(a-b)(a+b)}$$.

$$a^2 - ab + b^2 : \frac{(a^2-b^2)^2 + ab - 2b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2 - ab + b^2)(a-b)(a+b)}{(a^2-b^2)^2 + ab - 2b^2}$$.

Преобразуем:

$$\frac{(a^2 - ab + b^2)(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)^2 + ab - 2b^2} = \frac{(a^2 - ab + b^2)(a^2-b^2)}{a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + ab - 2b^2}$$.

Ответ: $$\frac{(a^2 - ab + b^2)(a^2-b^2)}{a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + ab - 2b^2}$$.