42. Докажите, что: a) n⁴+2n³-n² - 2п делится на 24, если п∈N; 6) (п²+4n+3) (n²+6n+8) делится на 24, если пе; в) по - п делится на 6, если п∈N; г) п³ - 4п делится на 48, если пе, п - четное.

a) Докажем, что $$n^4+2n^3-n^2-2n$$ делится на 24, если $$n \in N$$.

Разложим выражение на множители:

$$n^4+2n^3-n^2-2n = n(n^3+2n^2-n-2) = n(n^2(n+2) - (n+2)) = n(n+2)(n^2-1) = n(n+2)(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)(n+2)$$.

Получили произведение четырёх последовательных чисел. Одно из них делится на 4, одно на 3 и хотя бы одно на 2. Значит, произведение делится на $$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$$.

б) Докажем, что $$(n^2+4n+3)(n^2+6n+8)$$ делится на 24, если $$n \in N$$.

Разложим выражение на множители:

$$(n^2+4n+3)(n^2+6n+8) = (n+1)(n+3)(n+2)(n+4) = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$$.

Получили произведение четырёх последовательных чисел. Одно из них делится на 4, одно на 3 и хотя бы одно на 2. Значит, произведение делится на $$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$$.

в) Докажем, что $$n^3-n$$ делится на 6, если $$n \in N$$.

Разложим выражение на множители:

$$n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$$.

Получили произведение трёх последовательных чисел. Одно из них делится на 3, и хотя бы одно на 2. Значит, произведение делится на $$3 \cdot 2 = 6$$.

г) Докажем, что $$n^3-4n$$ делится на 48, если $$n \in N$$, n - четное.

Разложим выражение на множители:

$$n^3-4n = n(n^2-4) = n(n-2)(n+2) = (n-2)n(n+2)$$.

Так как n - четное, то представим $$n=2k$$, где $$k \in N$$.

Тогда получим:

$$(2k-2)(2k)(2k+2) = 2(k-1) \cdot 2k \cdot 2(k+1) = 8(k-1)k(k+1)$$.

Получили произведение трёх последовательных чисел, умноженное на 8. Значит, произведение делится на $$8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$$, так как одно из чисел делится на 3, а хотя бы одно на 2. Произведение $$8(k-1)k(k+1)$$ делится на 48.

Ответ: доказано.