А2. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной а. Вычислите площадь сечения, проходящего через две образующие конуса, угол между которыми равен 60°. √3 1) — a² 2 √3 2) — a² 8 √3 3) — a² 4 √32 4)a 6

Осевое сечение конуса, являющееся прямоугольным треугольником, имеет гипотенузу $$a$$. Так как треугольник прямоугольный, катеты равны между собой и являются образующими конуса. Обозначим катет (образующую) за $$x$$. По теореме Пифагора: $$x^2 + x^2 = a^2$$

$$2x^2 = a^2$$

$$x^2 = \frac{a^2}{2}$$, значит, $$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$$.

Сечение, проходящее через две образующие конуса, угол между которыми 60°, представляет собой равнобедренный треугольник со сторонами $$\frac{a}{\sqrt{2}}$$, $$\frac{a}{\sqrt{2}}$$ и углом 60° между ними. Поскольку треугольник равнобедренный и угол между равными сторонами 60°, то этот треугольник равносторонний. Его площадь можно найти по формуле $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$$

Подставим значение $$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$$: $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} a^2$$

Следовательно, правильный ответ: 2) $$\frac{\sqrt{3}}{8} a^2$$

Ответ: 2) $$\frac{\sqrt{3}}{8} a^2$$