В1. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади полученных се- чений равны √69 см² и 5√3 см². Вычислите площадь осе- вого сечения цилиндра.

Пусть образующая цилиндра равна h. Тогда первое сечение - прямоугольник со сторонами h и x, а второе - прямоугольник со сторонами h и y. Площади этих сечений: $$hx = \sqrt{69}$$ и $$hy = 5\sqrt{3}$$. Так как плоскости перпендикулярны, то образующая h является катетом прямоугольного треугольника, образованного x и y, которые также являются катетами. По теореме Пифагора: $$x^2 + y^2 = (2r)^2$$, где r - радиус основания цилиндра.

Выразим x и y: $$x = \frac{\sqrt{69}}{h}$$, $$y = \frac{5\sqrt{3}}{h}$$

Подставим в теорему Пифагора: $$(\frac{\sqrt{69}}{h})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{h})^2 = 4r^2$$

$$\frac{69}{h^2} + \frac{75}{h^2} = 4r^2$$

$$\frac{144}{h^2} = 4r^2$$

$$r^2 = \frac{36}{h^2}$$, значит, $$r = \frac{6}{h}$$

Площадь осевого сечения цилиндра равна $$S = 2rh$$. Подставим: $$S = 2 \cdot \frac{6}{h} \cdot h = 12 \text{ см}^2$$

Ответ: 12 см²