ВЗ. Сфера радиуса R касается всех ребер правильной тре- угольной призмы. Найдите длину бокового ребра приз- мы и расстояние от центра сферы до плоскостей боковых граней.

Пусть радиус сферы равен $$R$$. Правильная треугольная призма имеет в основании равносторонний треугольник. Так как сфера касается всех ребер призмы, то она касается и всех сторон основания. Тогда радиус сферы равен радиусу окружности, описанной вокруг основания призмы. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $$R = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$, где $$a$$ - сторона основания призмы. Отсюда $$a = 2R\sqrt{3}$$.

Длина бокового ребра призмы равна диаметру сферы, так как сфера касается верхнего и нижнего основания призмы. Следовательно, длина бокового ребра равна $$2R$$.

Расстояние от центра сферы до плоскости боковой грани равно радиусу окружности, вписанной в основание призмы, так как сфера касается всех ребер призмы. $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{2R\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{2R \cdot 3}{6} = R$$

Ответ: Длина бокового ребра: $$2R$$, расстояние от центра сферы до плоскостей боковых граней: $$R$$