С2. Сфера касается всех ребер правильной четырехуголь- ной пирамиды. Найдите радиус такой сферы, если все ребра пирамиды равны 18 см.

Пусть все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны $$a = 18 \text{ см}$$. Тогда основание пирамиды - квадрат со стороной $$a$$. Боковые грани - равносторонние треугольники со стороной $$a$$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания. Получим равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны $$a$$, а основание равно диагонали квадрата: $$a\sqrt{2}$$.

Сфера касается всех ребер пирамиды, поэтому ее центр лежит на высоте этого равнобедренного треугольника. Высота треугольника: $$h = \sqrt{a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. Высота пирамиды: $$H = \sqrt{a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Радиус сферы, касающейся всех ребер правильной четырехугольной пирамиды, равен половине высоты пирамиды, то есть $$R = \frac{H}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$$.

Подставим значение $$a = 18 \text{ см}$$: $$R = \frac{18\sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$

Ответ: $$\frac{9\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$