Аб. В конус с углом у при вершине осевого сечения и ра- диусом основания вписана сфера радиуса R. Найдите величину г, если известны R иү.

Пусть $$ \gamma $$ - угол при вершине осевого сечения конуса, $$R$$ - радиус вписанной сферы, а $$r$$ - радиус основания конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник с углом $$ \gamma $$ при вершине. В этот треугольник вписана окружность радиуса $$R$$.

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $$ \gamma $$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом вписанной окружности $$R$$, расстоянием от вершины конуса до точки касания окружности со стороной треугольника, и половиной угла $$ \gamma $$ при вершине.

Тогда $$R = r \cdot tg(\frac{\gamma}{4})$$. Выразим радиус основания конуса: $$r = R \cdot ctg(\frac{\gamma}{4})$$.

Ответ: $$r = R \cdot ctg(\frac{\gamma}{4})$$