В2. Равнобедренный треугольник вращается вокруг сво- ей оси симметрии. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а площадь полной поверх- ности тела вращения равна 60л см².

Пусть равнобедренный треугольник имеет основание $$a$$ и боковые стороны $$b$$. Тогда периметр $$P = a + 2b = 30$$ см. Ось симметрии - это высота, проведенная к основанию. При вращении треугольника вокруг оси симметрии получается два конуса с общим основанием. Площадь полной поверхности тела вращения (двух конусов) равна сумме площадей боковых поверхностей этих конусов: $$S = \pi r l_1 + \pi r l_2$$, где $$r$$ - радиус основания, $$l_1$$ и $$l_2$$ - образующие конусов (в данном случае, $$l_1 = l_2 = b$$).

Так как треугольник равнобедренный, образующие равны $$S = 2\pi r b = 60\pi \text{ см}^2$$, откуда $$rb = 30 \text{ см}^2$$.

Радиус основания - это половина основания треугольника: $$r = \frac{a}{2}$$. Значит, $$\frac{a}{2} b = 30$$, или $$ab = 60$$.

Из периметра выразим $$a = 30 - 2b$$. Подставим в уравнение $$ab = 60$$: $$(30 - 2b)b = 60$$

$$30b - 2b^2 = 60$$

$$2b^2 - 30b + 60 = 0$$

$$b^2 - 15b + 30 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 225 - 120 = 105$$

$$b_1 = \frac{15 + \sqrt{105}}{2}$$, $$b_2 = \frac{15 - \sqrt{105}}{2}$$

Тогда $$a_1 = 30 - 2 \cdot \frac{15 + \sqrt{105}}{2} = 30 - 15 - \sqrt{105} = 15 - \sqrt{105}$$, $$a_2 = 30 - 2 \cdot \frac{15 - \sqrt{105}}{2} = 30 - 15 + \sqrt{105} = 15 + \sqrt{105}$$

Стороны треугольника: $$b_1 = \frac{15 + \sqrt{105}}{2} \approx 12.62 \text{ см}$$, $$a_1 = 15 - \sqrt{105} \approx 4.75 \text{ см}$$ или $$b_2 = \frac{15 - \sqrt{105}}{2} \approx 2.38 \text{ см}$$, $$a_2 = 15 + \sqrt{105} \approx 25.25 \text{ см}$$

Ответ: $$b_1 = \frac{15 + \sqrt{105}}{2} \approx 12.62 \text{ см}$$, $$a_1 = 15 - \sqrt{105} \approx 4.75 \text{ см}$$ или $$b_2 = \frac{15 - \sqrt{105}}{2} \approx 2.38 \text{ см}$$, $$a_2 = 15 + \sqrt{105} \approx 25.25 \text{ см}$$