С1. Две параллельные плоскости пересекают диаметр сферы АВ в точках Си D, делящих его в отношении AC: CD: DB=1:2:3. Определите отношение радиусов се- чений (меньшего к большему), если прямая, содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол а.

Пусть радиус сферы равен $$R$$. Диаметр сферы AB разделен точками C и D в отношении AC:CD:DB = 1:2:3. Тогда $$AC = x$$, $$CD = 2x$$, $$DB = 3x$$, а весь диаметр $$AB = 6x$$. Значит, $$6x = 2R$$, откуда $$x = \frac{R}{3}$$.

$$AC = \frac{R}{3}$$, $$CD = \frac{2R}{3}$$, $$DB = R$$

Пусть первая плоскость проходит через точку С, а вторая - через точку D. Расстояние от центра сферы до первой плоскости: $$OC = OA - AC = R - \frac{R}{3} = \frac{2R}{3}$$. Расстояние от центра сферы до второй плоскости: $$OD = OB - DB = R - R = 0$$.

Радиус первого сечения $$r_1 = \sqrt{R^2 - (OC)^2} = \sqrt{R^2 - (\frac{2R}{3})^2} = \sqrt{R^2 - \frac{4R^2}{9}} = \sqrt{\frac{5R^2}{9}} = \frac{R\sqrt{5}}{3}$$

Радиус второго сечения $$r_2 = \sqrt{R^2 - (OD)^2} = \sqrt{R^2 - 0^2} = R$$

Отношение радиусов сечений (меньшего к большему): $$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\frac{R\sqrt{5}}{3}}{R} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

Если прямая, содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол $$ \alpha $$, то расстояния от центра сферы до плоскостей будут: $$OC = \frac{2R}{3}cos\alpha$$ и $$OD = Rcos\alpha$$.

Тогда радиусы сечений: $$r_1 = \sqrt{R^2 - (\frac{2R}{3}cos\alpha)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{4R^2}{9}cos^2\alpha} = R\sqrt{1 - \frac{4}{9}cos^2\alpha}$$

$$r_2 = \sqrt{R^2 - (Rcos\alpha)^2} = \sqrt{R^2 - R^2cos^2\alpha} = R\sqrt{1 - cos^2\alpha} = Rsin\alpha$$

Отношение радиусов: $$\frac{r_1}{r_2} = \frac{R\sqrt{1 - \frac{4}{9}cos^2\alpha}}{Rsin\alpha} = \frac{\sqrt{1 - \frac{4}{9}cos^2\alpha}}{sin\alpha}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{1 - \frac{4}{9}cos^2\alpha}}{sin\alpha}$$