А5. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Определите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 15 см, 15 см и 24 см. 1) 1 см 2) 2 см 3) 3 см 4) 4 см

Пусть радиус сферы равен $$r = 5 \text{ см}$$. Стороны треугольника равны $$a = 15 \text{ см}$$, $$b = 15 \text{ см}$$, $$c = 24 \text{ см}$$. Найдем полупериметр треугольника: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}$$

Площадь треугольника найдем по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-15)(27-15)(27-24)} = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 3} = \sqrt{3^3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^6} = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108 \text{ см}^2$$

Радиус вписанной окружности в треугольник можно найти по формуле: $$r_{\text{впис}} = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4 \text{ см}$$

Пусть расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $$d$$. Тогда $$d = \sqrt{r^2 - r_{\text{впис}}^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$

Следовательно, правильный ответ: 3) 3 см

Ответ: 3) 3 см