А4. Решить уравнение: sin x + cos 3x = 0

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \sin x = -\cos 3x \).
2. Используем свойство \( -\cos a = \cos(\pi - a) \) или \( -\cos a = \cos(\pi + a) \). В данном случае удобнее использовать \( \sin x = \sin(-\frac{\pi}{2} + 3x) \) или \( \sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x) \).
3. Тогда \( \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{2} - 3x)) = \sin(3x) \).
4. \( \sin x + \cos 3x = 0 \)
5. \( \sin x = -\cos 3x \)
6. \( \sin x = \sin(3x - \frac{\pi}{2}) \)
7. \( x = 3x - \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) или \( x = \pi - (3x - \frac{\pi}{2}) + 2\pi k \)
8. \( -2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \) или \( x = \pi - 3x + \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)
9. \( x = \frac{\pi}{4} - \pi k \) или \( 4x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
10. \( x = \frac{\pi}{4} - \pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} - \pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).