В3. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ox и графиком функции y = f(x): a = 0, b = 2, f(x) = x³ + 1.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле определённого интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( a=0 \), \( b=2 \), \( f(x) = x^3 + 1 \).

\( S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) dx \)

1. Найдём первообразную для \( f(x) \):
2. \( F(x) = \int (x^3 + 1) dx = \frac{x^4}{4} + x \).
3. Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( S = F(b) - F(a) \).
4. \( S = (\frac{2^4}{4} + 2) - (\frac{0^4}{4} + 0) \)
5. \( S = (\frac{16}{4} + 2) - (0) \)
6. \( S = (4 + 2) = 6 \).

Ответ: 6.