В5. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240. Найдите радиус цилиндра.

Решение:

Дано:

• Высота цилиндра \( H = 10 \) дм.
• Расстояние от оси до плоскости сечения \( d = 9 \) дм.
• Площадь сечения \( S_{сеч} = 240 \) дм².

Найти: Радиус цилиндра \( R \).

Решение:

1. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник.
2. Площадь этого прямоугольника равна произведению высоты цилиндра на длину хорды основания, которая является стороной этого прямоугольника.
3. \( S_{сеч} = H \cdot L \), где \( L \) — длина хорды.
4. \( 240 = 10 \cdot L \)
5. \( L = \frac{240}{10} = 24 \) дм.
6. Длина хорды \( L = 24 \) дм.
7. Рассмотрим основание цилиндра (круг). Хорда \( L \) удалена от центра на расстояние \( d = 9 \) дм.
8. Радиус \( R \) цилиндра, половина хорды \( L/2 \) и расстояние \( d \) образуют прямоугольный треугольник.
9. \( R^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2 \)
10. \( R^2 = 9^2 + (\frac{24}{2})^2 \)
11. \( R^2 = 81 + 12^2 \)
12. \( R^2 = 81 + 144 \)
13. \( R^2 = 225 \)
14. \( R = \sqrt{225} = 15 \) дм.

Ответ: 15 дм.