С1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = 2 cos x + sin 2x на отрезке [0; π].

Решение:

1. Найдём производную функции \( f(x) \):
2. \( f'(x) = (2 \cos x)' + (\sin 2x)' \)
3. \( f'(x) = -2 \sin x + \cos 2x \cdot (2x)' \)
4. \( f'(x) = -2 \sin x + 2 \cos 2x \).
5. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
6. \( -2 \sin x + 2 \cos 2x = 0 \)
7. \( \cos 2x = \sin x \)
8. Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \):
9. \( 1 - 2 \sin^2 x = \sin x \)
10. \( 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \)
11. Пусть \( t = \sin x \). Уравнение примет вид: \( 2t^2 + t - 1 = 0 \).
12. Найдём корни квадратного уравнения: \( t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \).
13. \( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
14. \( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
15. Теперь вернёмся к \( t = \sin x \):
16. \( \sin x = \frac{1}{2} \) или \( \sin x = -1 \).
17. На отрезке \( [0; \pi] \), \( \sin x = \frac{1}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).
18. На отрезке \( [0; \pi] \), \( \sin x = -1 \) не имеет решений (минимальное значение \( \sin x \) на этом отрезке равно 0).
19. Критические точки на отрезке \( [0; \pi] \): \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).
20. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
21. \( f(0) = 2 \cos 0 + \sin (2 \cdot 0) = 2 \cdot 1 + \sin 0 = 2 + 0 = 2 \)
22. \( f(\pi) = 2 \cos \pi + \sin (2 \pi) = 2 \cdot (-1) + 0 = -2 \)
23. \( f(\frac{\pi}{6}) = 2 \cos \frac{\pi}{6} + \sin (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
24. \( f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cos \frac{5\pi}{6} + \sin (2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \)
25. Сравним полученные значения: \( 2, -2, \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598, -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.598 \).
26. Наибольшее значение равно \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
27. Наименьшее значение равно \( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \), наименьшее значение равно \( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).