А7. Найти одну из первообразных функции: 4√x - 6√x

Решение:

Функция задана как \( f(x) = 4\sqrt{x} - 6\sqrt{x} = -2\sqrt{x} \).

Первообразная \( F(x) \) от \( f(x) \) находится по формуле \( F(x) = \int f(x) dx \).

\( F(x) = \int -2\sqrt{x} dx = -2 \int x^{\frac{1}{2}} dx \)

\( F(x) = -2 \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = -2 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \)

\( F(x) = -2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \)

Выберем \( C=0 \) для нахождения одной из первообразных.

Ответ: \( F(x) = -\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} \).