Билет 11: 1. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике. 2. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной прямой. 3. Луч SR является биссектрисой угла S, а отрезки SM и SN равны. Докажите равенство треугольников SMO и SNO.

Решение:

1. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике:
   1. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, и наоборот.
   2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
   3. Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.
2. Построение параллельной прямой: 1. Через точку M провести секущую, пересекающую данную прямую a в точке A. 2. Отложить от точки M угол, равный углу между прямой a и секущей (например, соответственный или накрест лежащий). 3. Прямая, проходящая через точку M и образующая этот угол, будет параллельна прямой a.
3. Доказательство равенства треугольников SMO и SNO:
   1. Дано: Треугольник SNO, SR — биссектриса ∠S, SM = SN.
   2. Доказать: ΔSMO = ΔSNO.
   3. Доказательство:
      1. По условию SM = SN (дано).
      2. По условию SR — биссектриса ∠S, значит ∠1 = ∠2 (где ∠1 — угол между SM и SR, ∠2 — угол между SN и SR).
      3. Сторона SO является общей для обоих треугольников.
      4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔSMO = ΔSNO.