191. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит один из катетов на отрезки длиной 15 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Биссектриса угла A пересекает катет BC в точке D. Тогда BD = 15 см, DC = 25 см. Значит, BC = BD + DC = 15 + 25 = 40 см. По свойству биссектрисы, \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}\). Пусть AB = 3x, AC = 5x. По теореме Пифагора, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\), то есть \((3x)^2 + (5x)^2 = 40^2\). Отсюда, \(9x^2 + 25x^2 = 1600\), \(34x^2 = 1600\), \(x^2 = \frac{1600}{34} = \frac{800}{17}\), \(x = \sqrt{\frac{800}{17}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \frac{20\sqrt{34}}{17}\). Тогда AB = \(3x = \frac{60\sqrt{34}}{17}\), AC = \(5x = \frac{100\sqrt{34}}{17}\). Периметр треугольника равен \(AB + AC + BC = \frac{60\sqrt{34}}{17} + \frac{100\sqrt{34}}{17} + 40 = \frac{160\sqrt{34}}{17} + 40 \approx 94.94\) см. Ответ: \(\frac{160\sqrt{34}}{17} + 40\) см.