197. Найдите \(sin \alpha, cos \alpha\) и \(ctg \alpha\), если \(tg \alpha = 4\).

Решение: 1. \(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = 4\). Значит, \(sin \alpha = 4 cos \alpha\). 2. Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Тогда \((4 cos \alpha)^2 + cos^2 \alpha = 1\), \(16 cos^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\), \(17 cos^2 \alpha = 1\), \(cos^2 \alpha = \frac{1}{17}\), \(cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}\) (т.к. \(\alpha\) - острый угол). 3. \(sin \alpha = 4 cos \alpha = 4 \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17}\). 4. \(ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{4}\). Ответ: \(sin \alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17}\), \(cos \alpha = \frac{\sqrt{17}}{17}\), \(ctg \alpha = \frac{1}{4}\).