25. Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Пусть ABCD - трапеция, AB = 20, CD = 29, BC = 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB, точку E.

Проведём прямую DE до пересечения с прямой BC в точке F. Углы ADE и EDC равны, так как DE - биссектриса. Углы ADE и CFB равны как накрест лежащие. Следовательно, углы CDE и CFB равны, значит треугольник CDF - равнобедренный, и CF = CD = 29.

Так как углы ADE и CFB равны, то AD || CF, а значит BCFD - параллелограмм, следовательно, BF = CD = 29, и FC = BC + CF = 4 + 29 = 33.

Так как E - середина AB, то DE - медиана треугольника ADF. Так как DE - биссектриса, то треугольник ADF - равнобедренный, следовательно, AD = AF = AB + BF = 20 + 29 = 49.

Проведём высоты BH и CK. Тогда HK = BC = 4, и AH + KD = AD - HK = 49 - 4 = 45.

Проведём высоту CE. Из точки C на сторону AD. Тогда CE = AB = 20. AE = 25.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD:

$$KD^2 + CK^2 = CD^2$$

$$KD^2 + 20^2 = 29^2$$

$$KD^2 = 841 - 400 = 441$$

$$KD = 21$$

Тогда, AH = 45 - 21 = 24.

Площадь трапеции: S = (BC + AD) / 2 * CE = (4 + 49) / 2 * 20 = 530.

Ответ: 530