17. В равнобедренной трапеции основания равны 8 и 12, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где BC = 8 и AD = 12 - основания, угол BAD = 45°.

Проведём высоты BH и CK из вершин B и C к основанию AD. Тогда AH = KD.

$$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

В прямоугольном треугольнике ABH угол BAH = 45°, значит угол ABH = 45°, и треугольник ABH равнобедренный. Следовательно, высота BH = AH = 2.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{8 + 12}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$$

Ответ: 20