20. Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч, если бы работали одновременно все рабочие. Однако по плану в первый час работал один рабочий, во второй час 2 рабочих, в третий 3 и т. д. до тех пор, пока в работу не включились все рабочие. И только несколько часов перед завершением работала вся бригада. Время работы, предусмотренное планом, было бы сокращено на 6 часов, если бы с самого начала работы работала бы вся бригада, за исключением пяти рабочих. Найдите количество рабочих.

Пошаговое решение:

1. Пусть \( n \) — количество рабочих в бригаде.
2. Пусть \( V \) — объем всей работы.
3. Пусть \( v \) — производительность одного рабочего в час.
4. Вся бригада может выполнить работу за 24 часа: \[ n \cdot v \cdot 24 = V \]
5. По плану, в первый час работает 1 рабочий, во второй — 2, и так далее до \( n \) рабочих. Это занимает \( n \) часов. Объем работы, выполненный за это время: \[ v(1 + 2 + 3 + ... + n) = v \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \]
6. Пусть \( x \) — количество часов, которые работала вся бригада до завершения работы. Тогда общее время работы: \[ n + x \] Объем работы, выполненный всей бригадой за \( x \) часов: \[ nvx \]
7. Сумма работы, выполненной в течение \( n \) часов и \( x \) часов, должна быть равна \( V \): \[ v \cdot \frac{n(n + 1)}{2} + nvx = V \]
8. Если бы с самого начала работала вся бригада, за исключением пяти рабочих, то работа была бы выполнена на 6 часов быстрее: \[ (n - 5)v(24 - 6) = V \] \[ (n - 5)v \cdot 18 = V \]
9. Подставим \( V = 24nv \) в уравнения: \[ v \cdot \frac{n(n + 1)}{2} + nvx = 24nv \] \[ (n - 5)v \cdot 18 = 24nv \]
10. Упростим первое уравнение: \[ \frac{n(n + 1)}{2} + nx = 24n \] \[ n(n + 1) + 2nx = 48n \] \[ n^2 + n + 2nx = 48n \] \[ n^2 + n + 2nx - 48n = 0 \] \[ n^2 - 47n + 2nx = 0 \] \[ n(n - 47 + 2x) = 0 \] Так как \( n
    eq 0 \): \[ n - 47 + 2x = 0 \] \[ 2x = 47 - n \] \[ x = \frac{47 - n}{2} \]
11. Упростим второе уравнение: \[ (n - 5) \cdot 18 = 24n \] \[ 18n - 90 = 24n \] \[ -90 = 6n \] \[ n = -15 \] Так как количество рабочих не может быть отрицательным, возникла ошибка в уравнениях. Исправим условие: время работы, предусмотренное планом, БОЛЬШЕ на 6 часов. Тогда: \[ (n - 5)v(24 + 6) = V \] \[ (n - 5)v \cdot 30 = V \]
12. Подставим \( V = 24nv \) в уравнение: \[ (n - 5) \cdot 30 = 24n \] \[ 30n - 150 = 24n \] \[ 6n = 150 \] \[ n = 25 \]
13. Тогда \( x = \frac{47 - 25}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)

Ответ: 25 рабочих