17. Кругами одинакового радиуса заполнили правильный треугольник (см. рис.), а потом тем же количеством кругов прямоугольник. Найдите количество кругов, если известно, что и на стороне треугольника, и на большей стороне прямоугольника располагается на два круга больше, чем на меньшей стороне прямоугольника.

Пошаговое решение:

1. Пусть на меньшей стороне прямоугольника укладывается \( n \) кругов, тогда на большей стороне укладывается \( n + 2 \) круга.
2. Количество кругов в прямоугольнике равно произведению кругов на сторонах, то есть \( n(n + 2) \).
3. В правильном треугольнике количество кругов равно сумме последовательных чисел от 1 до числа кругов на стороне. Если на стороне треугольника \( k \) кругов, то общее количество кругов в треугольнике равно: \[ \frac{k(k + 1)}{2} \]
4. По условию, количество кругов на стороне треугольника на 2 больше, чем на большей стороне прямоугольника, то есть \( k = n + 2 \). Тогда число кругов в треугольнике: \[ \frac{(n + 2)(n + 3)}{2} \]
5. Так как количество кругов в треугольнике и прямоугольнике одинаково, мы можем приравнять выражения: \[ n(n + 2) = \frac{(n + 2)(n + 3)}{2} \]
6. Разделим обе части уравнения на \( (n + 2) \) (предполагая, что \( n
   eq -2 \)): \[ n = \frac{n + 3}{2} \]
7. Решим уравнение относительно \( n \): \[ 2n = n + 3 \] \[ n = 3 \]
8. Теперь найдем количество кругов в прямоугольнике: \[ n(n + 2) = 3(3 + 2) = 3 \cdot 5 = 15 \]

Ответ: 15